Цель:

- отработка умений и навыков применения формул n‑ ого члена прогрессии, суммы  n – первых членов прогрессии;

- развитие навыков работы с дополнительной литературой;

- формирование интереса  к изучению математики;

- воспитание умения общаться.

 

Внеклассное мероприятие

«Час занимательной математики».

Цель:

- отработка умений и навыков применения формул n‑ ого члена прогрессии, суммы  n – первых членов прогрессии;

- развитие навыков работы с дополнительной литературой;

- формирование интереса  к изучению математики;

- воспитание умения общаться.

Класс делится на две команды. Команды заранее готовят выступления – задачи из истории прогрессий.

Учитель: Сегодня мы с вами узнаем, что многое в нашей жизни связано с математикой, а точнее с геометрической прогрессией. Казалось бы есть вещи не совместимые с законами математики, а начнешь рассуждать и приходишь к выводу, что и это можно объяснить с помощью определенных свойств алгебры и геометрии.

Учитель: Удивительно, как быстро разбегаются по городу слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого – нибудь происшествия, которое видело всего несколько человек, а новость облетела уже весь город: все о ней знают, все слышали. Необычайная быстрота эта кажется поразительной, прямо загадочной.

Однако, если подойти к делу с подсчетом, то станет ясно, что ничего чудесного здесь нет: все объясняется свойствами чисел, точнее свойствами геометрической прогрессии,  а не таинственными  особенностями самих слухов. Для примера рассмотрим хотя бы такой случай.

В провинциальный город  с 50-тысячным населением приехал в 8 часов утра житель столицы и привез свежую, всем интересную новость. В доме,  где приезжий остановился, он сообщил новость только трем местным жителям; это заняло, скажем, четверть часа.

Итак, в 8 часов 15 минут  новость была  известна в городе  всего только четверым: приезжему  и трем местным жителям.

Узнав эту новость, каждый из трех граждан поспешил  рассказать ее трем другим. Это потребовало также четверть часа. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней знало уже 4+ (3 · 3) = 13 человек.

Если слух распространяется по городу и далее таким же способом, то есть каждый, узнавший эту новость, успевает в ближайшие 15 минут сообщить ее  трем согражданам, то осведомление города будет происходить по следующему  расписанию:

в 9 часов новость узнают 40 + (3 · 27) = 121 человек.

в 9 часов 15 минут новость узнают 121 + (3 · 81)  = 364 человек.

в 9 часов 30 минут новость узнают 364 + (3· 243) = 1093 человек.

в 9 часов 45 минут новость узнают 1093 + (3 · 729) = 3280 человек.

в 10 часов новость узнают 3280 + ( 3 ·  2187) = 9841 человек.

в 10 часов 15 минут новость узнают 9841 + (3 · 6561) = 29524 человек.

И, значит, ранее чем в половине  одиннадцатого   дня  поголовно все жители большого города будут осведомлены о новости, которая в 8 часов утра  известна была только одному человеку, то есть слух облетел весь город примерно  за 2 часа 30 минут.

Задание: сосчитайте, когда новость узнает весь город, если один человек сообщает услышанную новость  - пяти жителям, то есть в 8 часов утра  новость знал один человек, за 15 минут он рассказал ее пяти жителям, через 15 минут жители, которые узнали эту новость рассказали еще 25 жителям и т.д.

(Ответ: ≈ 1 час 45 минут).

(Команды решают задачу).

Учитель: Но не только слухи   имеют свойство распространяться молниеносно,  также быстро  могут  размножаться животные, поставленные в благоприятные условия, и все это подчиняется законам геометрической прогрессии.

Первый ученик. В Америке первоначально не было воробьев. Эта столь обычная у нас птица была ввезена в США намеренно в той целью, чтобы уничтожила  там вредных насекомых. Воробей, как известно, в изобилии поедает прожорливых гусениц и других насекомых, вредящих садам  и огородам. Новая обстановка  полюбилась воробьям: в Америке не оказалось хищников, истребляющих этих птиц, и воробей стал быстро размножаться. Количество вредных насекомых начало заметно уменьшаться, но вскоре воробьи так размножились, что – за недостатком животной пищи – принялись за растительную и стали опустошать посевы. Пришлось приступить к борьбе с воробьями: борьба эта обошлась американцам так дорого, что на будущее время был издан закон, запрещающий ввоз в Америку каких бы то ни было животных.

Второй ученик: В Австралии не существовало кроликов, когда этот материк  открыт был  европейцами. Кролик ввезен туда в конце XVIII века, и так как там отсутствуют хищники, питающиеся кроликами, то размножение этих грызунов пошло  необычайно быстрым темпом. Вскоре полчища кроликов наводнили всю Австралию, нанося страшный вред  сельскому хозяйству и превратились в подлинное  бедствие. На борьбу  с этой  напастью были брошены огромные силы и только благодаря энергичным мерам удалось справиться с бедой.

 

 

Далее команды решают задачи  приготовленные  друг другом.

Выступление    первой   команды

Автор: Когда и где происходила эта история – неизвестно. Возможно, что и вовсе не происходило; даже скорее всего, что так. Но быль это или не- быль, история достаточно занятна, чтобы её узнать. Итак, наша история начинается. Встретились как-то богач и бедняк.

Бедняк: Сделаем такой уговор. Я буду целый месяц  приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная, в первый день я должен по уговору заплатить – смешно вымолвить – всего только одну копейку.

Богач. (удивленно). Одну копейку?.

Бедняк. ( уверенно). Одну копейку. За вторую сотню тысяч заплатишь две копейки.

Богач. Ну а дальше?

Бедняк. А дальше: за третью сотню тысяч  - четыре копейки, за четвертую – восемь, за пятую – шестнадцать. И так целый месяц, каждый день вдвое больше против предыдущего.

Богач. И потом что?

Бедняк Все больше ничего не потребую. Только крепко держать уговор: каждое утро буду носить по сотне тысяч  рублей, а ты плати, что сговорено. Раньше месяца кончать не смей.

Богач. Ладно. Неси деньги. Я – то свои уплачу  аккуратно. Сам, смотри, не обмани: правильные деньги приноси.

Бедняк. Будь спокоен, завтра с утра жди.

Автор. Прошел день. Рано утром постучал богачу  в окошко тот самый бедняк, которого он повстречал.

Бедняк. Деньги готовь. Я свои принес. Вот мои деньги по уговору. Твой черед платить. Завтра в такое же время жди. Да не забудь, две копейки припаси.

Автор. На утро снова стук в окошко: бедняк деньги принес. Отсчитал сто тысяч, получил свои две копейки, спрятал монету в суму и ушел. Явился бедняк и на третий день – третья сотня тысяч перешла  к  богачу  за четыре копейки. Еще день, и таким же манером явилась четвертая сотня тысяч – за восемь копеек.

Перешла и пятая сотня тысяч  - за  шестнадцать копеек.

Вопрос: сколько заплатил бедняк и сколько отдал богач за тридцать дней?

(Вторая команда производит подсчет. Первая команда во время подготовки к мероприятию должна была  приготовить плакат с решением этой задачи).

 

Плакат  первой команды с решением задачи.

 

За 1 –ю сотню тысяч ………………….. 1 копейка.

За 2 –ю сотню тысяч ………………….. 2 копейки.

За 3 –ю сотню тысяч ………………….. 4 копейки.

За 4 –ю сотню тысяч ………………….. 8 копеек.

……………………………………………………………………………………..

 

За 15 –ю сотню тысяч ………………….. 163 рубля 84 копейки

        За 16 –ю сотню тысяч ………………….. 327 рублей  68 копеек.

За 17 –ю сотню тысяч …………………..   655 рублей 36 копеек.

……………………………………………………………………………………….

 

За 28 –ю сотню тысяч …………………..  1 342 177 рублей 28 копеек.

За 29 –ю сотню тысяч …………………..  2 684 354 рублей 56 копеек.

За 30 –ю сотню тысяч …………………..  5 368 709 рублей 12 копеек.

Богач отдал бедняку 10 737 418 рублей 23 копейки.

Бедняк уплатил богачу 3 000 000 рублей.

 

Выступление второй команды

Автор. Вот что, по преданию, произошло много веков назад в Древнем Риме. Полководец Теренций, по приказу императора совершил победоносный поход и с трофеями вернулся в Рим. Прибыв в столицу, он просил допустить его к императору.

Теренций. Много побед  одержал я, чтобы возвысить твое могущество, государь. Я не страшился смерти, и будь у меня не одна, а много жизней, я все их принес бы тебе в жертву. Но  я устал воевать.  Наступила  пора отдохнуть.

Император. Чего желал бы ты от меня, Теренций?

Теренций. Если хочешь даровать награду скромному  слуге твоему, то пусть щедрость твоя поможет мне дожить мирно  в достатке  оставшиеся годы  подле  домашнего очага. Государь, дай мне денег для обеспечения моей жизни.

Автор. Император - гласит предание – не отличался широкой щедростью. Он любил копить деньги  для себя и скупо  тратил их на других. Просьба полководца заставила  его задуматься.

Император. Какую  же сумму, Теренций, считал бы  ты для себя достаточной?

Теренций. Миллион динариев, государь.

Император. Не хочу, чтобы  такой благородный воин, как ты, получил за свои подвиги жалкую награду.

Император. В моем казначействе лежит 5 миллионов  медных брассов. Ты войдешь в казначейство, возьмешь  одну монету  в руки, вернешься сюда и положишь ее к моим  ногам. На другой день  вновь пойдешь в казначейство, возьмешь монету, равную 2 брассам, и положишь  здесь, рядом с первой. В третий день принесешь монету,  достоинством в 4 брасса, в четвертый  -  достоинством 8 брассов, в пятый – 16 и так далее, каждый раз удваивая достоинство  монеты. Я прикажу   ежедневно  изготовлять  для тебя монеты надлежащей  ценности. И пока хватит у тебя сил поднимать  монеты,  будешь ты выносить их из моего  казначейства. Никто не вправе  помогать тебе, ты должен  пользоваться своими  силами. И когда заметишь, что не можешь  уже больше  поднять монету – остановишься:  уговор наш  закончится, но все монеты, которые    тебе удалось  вынести,  останутся твоими и послужат  тебе наградой.

Автор. Теренций смог вынести  из казначейства только 18 монет. Сколько килограмм  весила  18-ая монета? Сколько брассов  получил полководец от императора?

(Первая команда  производит подсчет).

Плакат  2 команды  с решением задачи.

В 1 – й день    ………... 1 брасс  весом  5 г.

На 2 – й день    ……….2 брасса  весом  10 г.

на 3 – й день    ………. 4 брасс  весом  20 г.

на 4 – й день    ………. 8 брасс  весом  40 г.

………………………………………………………………………………..

на  16 – й день    ………. 3276 брасса  весом  163 кг 840 г.

на  17 – й день    ………. 65536 брасса  весом 327 кг  680 г.

на 18 – й  день    ……….  131072 брасса  весом  655 кг 360 г.

18 монета  весила  655 кг 360 г

Теренций  получил в награду 262 143 брасса, то есть около 20 – й части суммы в миллион  динариев.

Подсчитываются  баллы каждой  команды. Объявляется победитель.